Promedios, Intervalos de Confianza y Teoría del Límite Central

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# __Tercera Clase Métodos Cuantitativos II__
## *Cálculo de intervalos de confianza, Teoría del Límite Central y prueba t*
<br>
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### Docente: Francisco Meneses

<br>

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# Retomemos: 
#¿Qué es la inferencia estadística?

???

Intentar inferir información de la población a partir de datos muestrales

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# Intervalo de Confianza (IC)

> Es un **rango** en torno al promedio muestral que contiene al verdadero promedio poblacional con cierta seguridad (confianza).

- Ej: “El promedio estimado es 500 puntos, con un IC del 95% entre 485 y 515”.

- Significa que **si repitiéramos el estudio muchas veces**, el 95% de los intervalos obtenidos contendría el valor real.

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## ¿Cómo se ve un intervalo de confianza?

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![](tercera_catedra_files/figure-html/unnamed-chunk-3-1.png)
]

.pull-right[

Nota: Apreciamos 5 grupos socioeconómicos con distintos promedios SIMCE y distintos intervalos de confianza. Algunos intervalos son más grandes que otros. Algunos grupos se solapan y otros no. El grupo c no se solapa con el grupo d

Si los intervalos no se solapan decimos que existen diferencias significativas.

**Diferencias significativas**: Diferencias que existen más allá de la muestra.

]

---

# ¿Utilidad de los intervalos de confianza?

- Podemos **comparar grupos**: ¿las diferencias son reales o por el azar de la muestra?

- Podríamos evaluar si un programa **funcionó**.

- Ayuda a **comunicar resultados** con transparencia.

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# ¿Cómo se calcula el intervalo de confianza para una media?

Para una **variable continua**, como por ejemplo el puntaje en una prueba, el **intervalo de confianza del 95%** para la media se calcula como:

$$
IC = \bar{x} \pm 1.96 \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}
$$

---

# Ejemplo:

Supongamos que en una muestra de estudiantes:

- Media = 70  
- Desviación estándar = 10  
- Tamaño de muestra = 25

$$
IC = \bar{x} \pm z \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}
$$

$$
IC = \{70} \pm 1.96 \cdot \frac{10}{\sqrt{25}}
$$
Margen de error: 3,92; Intervalo de confianza: 66,08 -  73,92

**Interpretación:** Estamos un 95% confiados de que el promedio real en la población se encuentra entre **66.08 y 73.92 puntos**.

---

# ¿Cómo se calcula el intervalo de confianza para una proporción?

Para una **variable dicotómica** (por ejemplo, estar de acuerdo / no estar de acuerdo), el **intervalo de confianza del 95%** para una proporción se calcula como:

$$
IC = \hat{p} \pm z \cdot \sqrt{ \frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n} }
$$

Donde:

- \$ \hat{p} \$: proporción observada en la muestra  
- \$ z \$: valor crítico (1.96 para un IC del 95%)  
- \$ n \$: tamaño de la muestra

---

# Ejemplo:

Supongamos que en una encuesta:

- 120 personas respondieron y 72 están de acuerdo con una afirmación

Entonces:

- \$ \hat{p} = \frac{72}{120} = 0.60 \$  
- \$ n = 120 \$  
- \$ z = 1.96 \$

$$
IC = 0.60 \pm 1.96 \cdot \sqrt{ \frac{0.60(1 - 0.60)}{120} } 
$$

$$
IC = (0.5124,\ 0.6876)
$$

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# ¿Qué intervalos queremos?

* Intervalos más pequeños son más precisos y útiles

# ¿De qué depende el tamaño del intervalo?

* Del tamaño de la muestra (\$ n \$)
      + Muestras más grandes dan intervalos más pequeños (Precisos)
  
  * Nivel de confianza (90%, 95%, 99%, 99.9%)
  
      + A mayor nivel de confianza más grande es el intervalo (Impreciso pero más confiable)
      
  * Nivel de dispersión de los datos
      +  Datos más dispersos implican intervalos más grandes.

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## Teoría del Límite Central (TLC)

Es la **base teórica matemática** de la estádistica inferencial y de los Intervalos de confianza

.center[
<img src="images/intervalo-de-confianza-4.png" size="40%">
]

> “Si graficamos la distribución del promedio de muchas muestras tiende a una normal al aumentar el tamaño de la muestra, **sin importar la distribución original**.”

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## Teoría del Límite Central (TLC)

Es la **base teórica matemática** de la estádistica inferencial y de los Intervalos de confianza

Desde aquí nace el número **1.96** en la fórmula para un intervalo de confianza que utiliza el 95% de confianza

Si consideramos la distribución normal de los promedios de “infinitas” muestras, y dejamos +/- 1,96 desviaciones estándar hacia ambos lados del parámetro poblacional, cubrimos el 95% de los promedios obtenidos.

.center[
<img src="images/intervalo-de-confianza-4.png" size="40%">
]

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# En suma: el Teoría del Límite Central (TLC)

> Si sacamos una muestra al azar, es altamente improbable que el promedio de la muestra sea muy distinto al obtenido

> Podemos calcular un intervalo en torno al promedio muestral en el cual tendremos un % de confianza de que el parámetro poblacional está incluido.

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### ¿Por qué es importante la Teoría del Límite Central?

- Es la base de la estadística inferencial

- Nos permite **estimar la incertidumbre** con herramientas conocidas.

- Hace posible usar la **distribución normal** (z, t, etc.) para construir intervalos y hacer pruebas.

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# Recapitulación

- El **promedio** resume nuestros datos, pero tiene incertidumbre debido a trabajar
con muestras.

- Los **intervalos de confianza** permiten expresar esa incertidumbre.

- Gracias a la **Teoría del Límite Central**, podemos confiar en la forma en que estimamos esa incertidumbre.

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# Pregunta para pensar 🤔

> ¿Por qué es más útil reportar un promedio **con su intervalo de confianza**, en vez del promedio solo?

- ¿Qué responderías tú como investigador/a?

# Actividad breve

- Forma grupos de 2-3 personas.  
- Responde:  
  - ¿Cómo explicarías el concepto de intervalo de confianza a alguien que no estudia estadísticas?  
  - ¿En qué tipo de decisiones crees que sería útil usarlo?  
  - ¿Puedes dar un ejemplo en educación, salud o política?

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# Prueba t

## Evaluando diferencia de medias

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## ¿Qué es la prueba *t* ?

- Herramienta estadística para comparar **medias**.

- Evalúa si la diferencia observada entre medias de dos grupos estadísticamente significativa.

- Contrasta la evidencia estadística contra `$H_0$` qué supone que **NO** existe diferencia de medias

+ Si rechazamos `$H_0$` asumimos que si existen diferencias de medias (`$H_0$`)

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## ¿Cuándo utilizamos la prueba t?

> Cuando queremos evaluar si la *diferencia de los promedios* de *dos* grupos es estadísticamente significativa

- __Variable dependiente__: Escala de medición númerica **intervalar o razón**.

- __Variable independiente__: Categórica (nominal u ordinal) con 2 categorías o grupos

## Supuestos para su aplicación

- **Normalidad** de la variable (especialmente importante para n pequeños).

- En muestras independientes: **homogeneidad de varianzas** (prueba de Levene).

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### Fórmula general

$$
t \;=\; \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} \;+\; \frac{s_2^2}{n_2}}}
$$

donde:  
- `$\bar{X}_1$` y `$\bar{X}_2$` son las medias de los dos grupos.  
- `$s_1^2$` y `$s_2^2$` son las varianzas muestrales.  
- `$n_1$` y `$n_2$` son los tamaños de muestra.

.pull-left[
<img src="images/intervalo-de-confianza-4.png" size="40%">
]

.pull-right[

* Así se distribuye el valor t en una muestra grande donde no hay diferencia de medias (es decir, donde `$H_0$` es real)

]
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### Interpretación

- **Valor p < 0.05** → diferencia estadísticamente significativa.

- **Valor p ≥ 0.05** → no hay evidencia suficiente para afirmar que las medias difieran.

>  el valor p nos dice que tan improbable es haber encontrado un valor t en una muestra donde `$H_0$` es real (No hay diferencias).  Si p < 0.05 descartamos `$H_0$` y asumimos `$H_1$`

_" Si p < 0.05 Existe menos de un 5% de probabilidad de haber encontrado un valor t tan grande en una muestra donde no existe asociación (`$H_0$`), por lo cual, asumimos que si existen diferencias de medias (`$H_1$`)"_
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### Ejercicios

p = 0.03 | p = 0.07 | p = 0.4  |  p = 0.006

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## Ejemplo rápido en R

.small[

``` r
t.test(Petal.Width ~ Species, data = iris_propia) 
```

```
## 
## 	Welch Two Sample t-test
## 
## data:  Petal.Width by Species
## t = -42.786, df = 63.123, p-value < 0.00000000000000022
## alternative hypothesis: true difference in means between group setosa and group virginica is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -1.863133 -1.696867
## sample estimates:
##    mean in group setosa mean in group virginica 
##                   0.246                   2.026
```
]

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# En suma: la prueba t

*  Nos permite **inferir** si la **diferencia de medias** observada en una muestra entre **dos grupos es significativa** y, por ende, extrapolable a la población

* Nos entrega un valor t, y un valor p. A partir del valor p analizamos la significación

* Si p< 0.05 rechazamos `$H_0$` y asumimos que existe diferencia de medias (`$H_1$`)

_" Si p < 0.05 Existe menos de un 5% de probabilidad de haber encontrado un valor t tan grande en una muestra donde no existe asociación (`$H_0$`), por lo cual, asumimos que las diferencias observadas en la muestra son significativas, es decir, existen a nivel poblacional (`$H_1$`)"_

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# Ticket de salida

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# Tamaño del efecto: *d* de Cohen

**¿Por qué reportarlo?**
- El valor *p* solo indica si hay evidencia de diferencia, **no su magnitud**.
- *d* de Cohen mide el tamaño estandarizado de la diferencia de medias.
- Ejemplo de factores canserigenos: oxigeno y cigarrillo.

**Fórmula general (muestras independientes)**:

`$d = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{s_p}$`

donde `$s_p$` es la desviación estándar combinada:

`$s_p = \sqrt{ \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2} }$`

---

## Interpretación de *d* (Cohen, 1988)

| d         | Interpretación  | Comentario breve |
|-----------|-----------------|------------------|
| 0.20      | Pequeño         | Diferencia ligera, poco relevante en práctica |
| 0.50      | Mediano         | Diferencia visible/moderada |
| 0.80      | Grande          | Diferencia sustancial/práctica |
|   1.00    | Muy grande      | Diferencia muy marcada |

<span class="small">*Valores umbral son orientativos; el contexto importa.*</span>

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## Ejemplo rápido en R

``` r
library(effsize)
cohen.d(Petal.Width ~ Species, data = iris_propia )
```

```
## 
## Cohen's d
## 
## d estimate: -8.55716 (large)
## 95 percent confidence interval:
##     lower     upper 
## -9.821820 -7.292499
```

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![](images/d_cohen_plot.png)

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## Tipos principales

1. **Prueba *t* para una muestra**  
   - Compara la media de una muestra con un valor conocido o hipotético.

2. **Prueba *t* para muestras independientes**  
   - Compara medias de **dos grupos distintos**.

3. **Prueba *t* para muestras relacionadas**  
   - Compara medias de **los mismos sujetos** en dos momentos o condiciones.

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# En suma: debemos analizar

-  la significación de las diferencias de medias (p)
 
-  la dirección de las diferencias de medias (t)

- la fuerza de las diferencias de medias (d)